Номер 27, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 27, страница 41.

Условие.

5.27. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $A (1; 0; 2)$, $B (-2; 4; 2)$ и $C (3; 1; 0)$ является тупоугольным.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать, что треугольник является тупоугольным, нужно показать, что один из его внутренних углов больше 90°. Это можно сделать, определив знак косинуса одного из углов. Если косинус угла отрицателен, то угол является тупым.

Знак косинуса угла между двумя векторами совпадает со знаком их скалярного произведения. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
Так как длины векторов $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ всегда положительны, то если скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$, то и $\cos \theta < 0$, и угол $\theta$ — тупой.

Рассмотрим треугольник с вершинами в точках $A(1; 0; 2)$, $B(-2; 4; 2)$ и $C(3; 1; 0)$. Проверим, является ли какой-либо из его углов тупым.

Начнем с угла при вершине $A$. Этот угол образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
Найдем координаты этих векторов, вычитая из координат конца координаты начала:
$\vec{AB} = (-2 - 1; 4 - 0; 2 - 2) = (-3; 4; 0)$
$\vec{AC} = (3 - 1; 1 - 0; 0 - 2) = (2; 1; -2)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) = -6 + 4 + 0 = -2$

Поскольку скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -2$ отрицательно, угол между этими векторами, то есть угол $A$ треугольника $ABC$, является тупым.
Так как один из углов треугольника тупой, то треугольник является тупоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник с заданными вершинами является тупоугольным, так как скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, образующих угол A, отрицательно.