Номер 22, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 22, страница 40.

Условие.

5.22. Найдите скалярное произведение $(2\vec{a} - 3\vec{b})(\vec{a} - 2\vec{b})$, если $\vec{a} (2; -1; -2)$, $\vec{b} (4; -3; 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для вычисления скалярного произведения $(2\vec{a} - 3\vec{b})(\vec{a} - 2\vec{b})$ необходимо сначала найти координаты векторов-сомножителей $(2\vec{a} - 3\vec{b})$ и $(\vec{a} - 2\vec{b})$.

Даны векторы $\vec{a}(2; -1; -2)$ и $\vec{b}(4; -3; 2)$.

1. Найдем координаты вектора $(2\vec{a} - 3\vec{b})$.

Сначала выполним умножение векторов на скаляры:

$2\vec{a} = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-1); 2 \cdot (-2)) = (4; -2; -4)$

$3\vec{b} = (3 \cdot 4; 3 \cdot (-3); 3 \cdot 2) = (12; -9; 6)$

Теперь найдем разность векторов $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$:

$2\vec{a} - 3\vec{b} = (4 - 12; -2 - (-9); -4 - 6) = (-8; 7; -10)$

2. Найдем координаты вектора $(\vec{a} - 2\vec{b})$.

Умножим вектор $\vec{b}$ на скаляр 2:

$2\vec{b} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-3); 2 \cdot 2) = (8; -6; 4)$

Найдем разность векторов $\vec{a}$ и $2\vec{b}$:

$\vec{a} - 2\vec{b} = (2 - 8; -1 - (-6); -2 - 4) = (-6; 5; -6)$

3. Вычислим скалярное произведение полученных векторов.

Скалярное произведение векторов $\vec{x}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{y}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{x} \cdot \vec{y} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Подставим координаты векторов $(2\vec{a} - 3\vec{b}) = (-8; 7; -10)$ и $(\vec{a} - 2\vec{b}) = (-6; 5; -6)$:

$(2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = (-8) \cdot (-6) + 7 \cdot 5 + (-10) \cdot (-6)$

$= 48 + 35 + 60$

$= 143$

Ответ: 143