Номер 16, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 16, страница 40.

Условие.

5.16. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точки $M, K$ и $P$ – соответственно середины рёбер $AB, AD$ и $CD$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$;

2) $\vec{MK}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{PK}$ и $\vec{BC}$;

4) $\vec{CD}$ и $\vec{PM}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$

Скалярное произведение векторов определяется формулой $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. В правильном тетраэдре $DABC$ все ребра равны $a$. Следовательно, $|\vec{AD}| = a$ и $|\vec{DC}| = a$. Найдем угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$. Для этого приведем их к общему началу. Вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$. Угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$ (с общим началом в точке $D$) равен углу $\angle ADC$ в грани $ADC$. Поскольку тетраэдр правильный, грань $ADC$ является равносторонним треугольником, и $\angle ADC = 60^\circ$. Угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$ будет равен $180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Теперь вычислим скалярное произведение: $\vec{AD} \cdot \vec{DC} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.

2) $\vec{MK}$ и $\vec{DA}$

Точки $M$ и $K$ — середины ребер $AB$ и $AD$ соответственно. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, вектор $\vec{MK}$ параллелен вектору $\vec{BD}$ и его длина в два раза меньше: $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{BD}$. Нам нужно найти скалярное произведение $\vec{MK} \cdot \vec{DA}$. $\vec{MK} \cdot \vec{DA} = (\frac{1}{2}\vec{BD}) \cdot \vec{DA} = \frac{1}{2}(\vec{BD} \cdot \vec{DA})$. Выразим векторы через ребра, исходящие из одной вершины, например $A$: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$, а $\vec{DA} = -\vec{AD}$. $\vec{BD} \cdot \vec{DA} = (\vec{AD} - \vec{AB}) \cdot (-\vec{AD}) = -(\vec{AD} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AD})$. $\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = a^2$. $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle BAD)$. Угол $\angle BAD$ в равностороннем треугольнике $ABD$ равен $60^\circ$. $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Подставляем найденные значения: $\vec{BD} \cdot \vec{DA} = -(a^2 - \frac{a^2}{2}) = -\frac{a^2}{2}$. Итоговое скалярное произведение: $\vec{MK} \cdot \vec{DA} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{a^2}{2}) = -\frac{a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{4}$.

3) $\vec{PK}$ и $\vec{BC}$

Точки $P$ и $K$ — середины ребер $CD$ и $AD$ соответственно. Следовательно, отрезок $PK$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, $\vec{PK} = \frac{1}{2}\vec{CA}$. Найдем скалярное произведение $\vec{PK} \cdot \vec{BC}$: $\vec{PK} \cdot \vec{BC} = (\frac{1}{2}\vec{CA}) \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{CA} \cdot \vec{BC})$. Для вычисления $\vec{CA} \cdot \vec{BC}$ найдем угол между этими векторами. Приведем их к общему началу, точке $C$. Вектор $\vec{BC}$ противоположен вектору $\vec{CB}$. Угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ — это угол $\angle ACB$ в равностороннем треугольнике $ABC$, он равен $60^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $|\vec{CA}| = a$ и $|\vec{BC}| = a$. $\vec{CA} \cdot \vec{BC} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$. Итоговое скалярное произведение: $\vec{PK} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{a^2}{2}) = -\frac{a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{4}$.

4) $\vec{CD}$ и $\vec{PM}$

Введем базисные векторы, исходящие из вершины $D$: $\vec{DA} = \vec{x}$, $\vec{DB} = \vec{y}$, $\vec{DC} = \vec{z}$. Так как тетраэдр правильный, $|\vec{x}| = |\vec{y}| = |\vec{z}| = a$, и углы между этими векторами равны $60^\circ$. Скалярные произведения базисных векторов: $\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{x}\cdot\vec{z} = \vec{y}\cdot\vec{z} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$. Выразим векторы $\vec{CD}$ и $\vec{PM}$ через базис. $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{z}$. Точка $P$ — середина $CD$, поэтому $\vec{DP} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{z}$. Точка $M$ — середина $AB$. Вектор $\vec{DM}$ можно найти как полусумму векторов к концам отрезка: $\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DB}) = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$. Теперь найдем вектор $\vec{PM}$: $\vec{PM} = \vec{DM} - \vec{DP} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) - \frac{1}{2}\vec{z} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y} - \vec{z})$. Вычислим скалярное произведение: $\vec{CD} \cdot \vec{PM} = (-\vec{z}) \cdot (\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y} - \vec{z})) = -\frac{1}{2}(\vec{z} \cdot \vec{x} + \vec{z} \cdot \vec{y} - \vec{z} \cdot \vec{z})$. Подставим значения скалярных произведений: $\vec{z}\cdot\vec{x} = \frac{a^2}{2}$, $\vec{z}\cdot\vec{y} = \frac{a^2}{2}$, $\vec{z}\cdot\vec{z} = |\vec{z}|^2 = a^2$. $\vec{CD} \cdot \vec{PM} = -\frac{1}{2}(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - a^2) = -\frac{1}{2}(a^2 - a^2) = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. В правильном тетраэдре отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер (в данном случае $CD$ и $AB$), перпендикулярен этим ребрам, поэтому их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: $0$.