Номер 14, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 14, страница 40.

Условие.

5.14. При каком значении $x$ векторы $\vec{a} (x; -x; 1)$ и $\vec{b} (x; 2; 1)$ перпендикулярны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора являются перпендикулярными (ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}$ с координатами $(x; -x; 1)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x; 2; 1)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Подставим координаты данных векторов в формулу и приравняем результат к нулю, так как по условию векторы перпендикулярны:
$x \cdot x + (-x) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 0$

Упростим полученное выражение:
$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно свернуть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x-1)^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что:
$x - 1 = 0$
$x = 1$

Таким образом, векторы перпендикулярны при значении $x$, равном 1.

Ответ: $1$