Номер 8, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 39.

Условие.

5.8. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. Вычислите скалярное произведение $(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для вычисления скалярного произведения $(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b})$ воспользуемся его свойствами и данными из условия задачи.

1. Раскрытие скобок и упрощение выражения

Используем дистрибутивное свойство скалярного произведения (раскрываем скобки как в обычном алгебраическом выражении):

$(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b}) = (5\vec{a}) \cdot \vec{a} + (5\vec{a}) \cdot (-5\vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot (-5\vec{b})$

$= 5(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 25(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{a}) - 5(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Далее, используем следующие свойства скалярного произведения:

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$.
• Скалярное произведение коммутативно: $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$.

Применяя эти свойства, преобразуем выражение:

$5|\vec{a}|^2 - 25(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2 = 5|\vec{a}|^2 - 24(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2$

2. Использование данных из условия

По условию задачи, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$, а их модули $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по определению:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(60^\circ)$

Подставляем известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. Итоговое вычисление

Теперь подставим значения $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$5|\vec{a}|^2 - 24(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2 = 5(1)^2 - 24\left(\frac{1}{2}\right) - 5(1)^2$

$= 5 \cdot 1 - 12 - 5 \cdot 1$

$= 5 - 12 - 5$

$= -12$

Ответ: -12