Номер 1, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 1, страница 39.

Условие.

5.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.6), точка $O$ – центр грани $ABCD$. Чему равен угол между векторами:

Рис. 5.6

1) $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$;

2) $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$;

3) $\vec{AC}$ и $\vec{BO}$;

4) $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$;

5) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BO}$;

6) $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$;

7) $\vec{AA_1}$ и $\vec{B_1B}$;

8) $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения угла между векторами в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $O$ — центр грани $ABCD$, воспользуемся геометрическими свойствами куба и определением угла между векторами. Угол между векторами определяется после приведения их к общему началу.

1) $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$
Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ выходят из одной точки $A$ и лежат в плоскости квадрата $ABCD$. Угол между ними равен углу $\angle CAD$. Диагональ $AC$ является биссектрисой прямого угла $\angle DAB$. Следовательно, искомый угол равен $\frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$

2) $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$
Для нахождения угла между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ приведем их к общему началу. Перенесем вектор $\vec{AC}$ так, чтобы его начало совпало с точкой $C$. Полученный вектор будет противоположным вектору $\vec{CA}$. Угол между $\vec{CA}$ и $\vec{CD}$ равен $\angle ACD$. В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BCD$, поэтому $\angle ACD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Угол между вектором, противоположным $\vec{CA}$, и вектором $\vec{CD}$ будет смежным с углом $\angle ACD$ и равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$

3) $\vec{AC}$ и $\vec{BO}$
Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, то есть точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Вектор $\vec{AC}$ лежит на прямой $AC$, а вектор $\vec{BO}$ — на прямой $BD$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$). Следовательно, угол между векторами, лежащими на этих прямых, равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$

4) $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$
Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ выходят из общей точки $A$ и являются смежными ребрами куба, лежащими в грани $ADD_1A_1$. Угол между ними равен углу $\angle DAA_1$ в квадрате $ADD_1A_1$. Следовательно, угол равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$

5) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BO}$
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Вектор $\vec{BO}$ лежит в этой плоскости. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, ребро $AA_1$ перпендикулярно прямой $BO$, и угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{BO}$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$

6) $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$
Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ соответствуют параллельным боковым ребрам куба и имеют одинаковое направление. Такие векторы называются сонаправленными. Угол между сонаправленными векторами равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$

7) $\vec{AA_1}$ и $\vec{B_1B}$
Вектор $\vec{AA_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{BB_1}$. Вектор $\vec{B_1B}$ является противоположным вектору $\vec{BB_1}$. Следовательно, векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{B_1B}$ противоположно направлены (антипараллельны). Угол между противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.
Ответ: $180^\circ$

8) $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$
В квадрате $ABCD$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$ (поскольку они являются противоположными сторонами квадрата, они параллельны, равны по длине и имеют одинаковое направление при соответствующем обходе). Заменим вектор $\vec{CD}$ равным ему вектором $\vec{BA}$. Тогда искомый угол равен углу между векторами $\vec{BO}$ и $\vec{BA}$. Эти векторы выходят из одной точки $B$, и угол между ними — это $\angle OBA$. Диагональ $BD$ является биссектрисой прямого угла $\angle ABC$. Следовательно, $\angle OBA = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$