Номер 12, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 12, страница 38.

Условие.

ров.

12. Что следует из равенства $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, если $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$?

Решение 1.

Решение 3.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\theta$ — угол между ними.

По условию задачи нам даны три факта:

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
2. $\vec{a} \neq \vec{0}$ (вектор $\vec{a}$ не является нулевым)
3. $\vec{b} \neq \vec{0}$ (вектор $\vec{b}$ не является нулевым)

Из условий 2 и 3 следует, что длины векторов не равны нулю: $|\vec{a}| \neq 0$ и $|\vec{b}| \neq 0$.

Подставим известное значение скалярного произведения в его определение:

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) = 0$

Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Поскольку мы знаем, что $|\vec{a}| \neq 0$ и $|\vec{b}| \neq 0$, то для выполнения равенства необходимо, чтобы третий множитель был равен нулю:

$\cos(\theta) = 0$

Угол между векторами $\theta$ по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне косинус равен нулю только при $\theta = 90^\circ$.

Геометрически это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны (или ортогональны) друг другу.

Ответ: Из равенства $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ при условии, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, следует, что эти векторы перпендикулярны (ортогональны), то есть угол между ними равен $90^\circ$.