Номер 9, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 9, страница 38.

Условие.

9. Что называют скалярным квадратом вектора?

Решение 1.

Решение 3.

9. Что называют скалярным квадратом вектора?

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называют скалярное произведение этого вектора на самого себя. Обозначается это как $\vec{a}^2$.

Для нахождения значения скалярного квадрата воспользуемся определением скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi)$
В случае скалярного квадрата мы умножаем вектор $\vec{a}$ сам на себя. Угол $\varphi$ между вектором и им же самим равен $0^\circ$. Косинус этого угла равен $1$ ($\cos(0^\circ) = 1$).
Подставив эти значения в формулу, получаем:
$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 1 = |\vec{a}|^2$

Таким образом, скалярный квадрат вектора — это число, равное квадрату его длины (модуля). Это свойство всегда верно: скалярный квадрат вектора неотрицателен, и он равен нулю только тогда, когда сам вектор является нулевым.

Если вектор задан в координатной форме, например, $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$, то его скалярный квадрат равен сумме квадратов его координат:
$\vec{a}^2 = a_x \cdot a_x + a_y \cdot a_y + a_z \cdot a_z = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$
Это также совпадает с квадратом его модуля: $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2})^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$.

Ответ: Скалярным квадратом вектора называют скалярное произведение вектора на самого себя. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.