Номер 4, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 4, страница 38.

Условие.

4. Чему равен угол между двумя сонаправленными векторами?

Решение 1.

Решение 3.

Сонаправленными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону. Обозначение сонаправленных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выглядит так: $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

По определению, угол между двумя векторами — это угол между лучами, выходящими из одной точки и сонаправленными с данными векторами. Если отложить два сонаправленных вектора от одной точки, то они расположатся на одном луче, то есть их направления полностью совпадут. Угол между двумя совпадающими лучами равен нулю.

Рассмотрим это с точки зрения скалярного произведения. Косинус угла $\alpha$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то существует такое положительное число $k$ ($k > 0$), что $\vec{b} = k\vec{a}$. Подставим это выражение в формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot (k\vec{a})}{|\vec{a}| \cdot |k\vec{a}|} = \frac{k(\vec{a} \cdot \vec{a})}{|\vec{a}| \cdot k|\vec{a}|} = \frac{k|\vec{a}|^2}{k|\vec{a}|^2} = 1$

Уравнение $\cos(\alpha) = 1$ в диапазоне углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ имеет единственное решение: $\alpha = 0^\circ$.

Ответ: Угол между двумя сонаправленными векторами равен $0^\circ$ (или $0$ радиан).