Номер 3, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 3, страница 38.

Условие.

3. Чему равен угол между двумя противоположно направленными векторами?

Решение 1.

Решение 3.

Угол между двумя векторами — это наименьший угол между их направлениями, если отложить эти векторы от одной точки.

Два вектора называются противоположно направленными (или антиколлинеарными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны. Пусть у нас есть два таких ненулевых вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если мы совместим их начальные точки (например, в точке O), то их концы будут лежать на одной прямой, проходящей через точку O, но по разные стороны от нее. В этом случае векторы образуют развернутый угол, величина которого составляет 180 градусов или $\pi$ радиан.

Докажем это математически, используя скалярное произведение векторов. Угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти из формулы:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, существует такое отрицательное число $k$ ($k < 0$), что $\vec{b} = k \vec{a}$.
Найдем скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{a}) = k(\vec{a} \cdot \vec{a}) = k|\vec{a}|^2$
Теперь найдем модуль вектора $\vec{b}$:
$|\vec{b}| = |k\vec{a}| = |k||\vec{a}|$
Так как $k < 0$, то $|k| = -k$. Следовательно, $|\vec{b}| = -k|\vec{a}|$.

Подставим полученные выражения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\theta) = \frac{k|\vec{a}|^2}{|\vec{a}| \cdot (-k|\vec{a}|)} = \frac{k|\vec{a}|^2}{-k|\vec{a}|^2} = -1$

Уравнение $\cos(\theta) = -1$ в диапазоне углов от $0°$ до $180°$ имеет единственное решение: $\theta = 180°$.

Ответ: 180° (или $\pi$ радиан).