Номер 38, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 38, страница 34.

Условие.

4.38. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезках $B_1C$ и $BD$ взяли соответственно точки $M$ и $K$ так, что $B_1M:MC = 2:1$, $BK:KD = 1:2$. Докажите, что прямые $MK$ и $AC_1$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства параллельности прямых $MK$ и $AC_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{MK}$.

Координаты вектора $\vec{AC_1}$ равны разности координат его конца и начала:

$\vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Найдем координаты точки $M$. Точка $M$ лежит на отрезке $B_1C$ и делит его в отношении $B_1M : MC = 2:1$. Ее радиус-вектор $\vec{AM}$ можно выразить через радиус-векторы точек $B_1$ и $C$:

$\vec{AM} = \frac{1 \cdot \vec{AB_1} + 2 \cdot \vec{AC}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{AB_1} + \frac{2}{3}\vec{AC}$.

Подставляя координаты векторов $\vec{AB_1}=(a, 0, a)$ и $\vec{AC}=(a, a, 0)$, получаем:

$\vec{AM} = \frac{1}{3}(a, 0, a) + \frac{2}{3}(a, a, 0) = (\frac{a}{3} + \frac{2a}{3}, \frac{0}{3} + \frac{2a}{3}, \frac{a}{3} + \frac{0}{3}) = (a, \frac{2a}{3}, \frac{a}{3})$.

Следовательно, координаты точки $M(a, \frac{2a}{3}, \frac{a}{3})$.

Найдем координаты точки $K$. Точка $K$ лежит на отрезке $BD$ и делит его в отношении $BK : KD = 1:2$. Ее радиус-вектор $\vec{AK}$ можно выразить через радиус-векторы точек $B$ и $D$:

$\vec{AK} = \frac{2 \cdot \vec{AB} + 1 \cdot \vec{AD}}{2+1} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AD}$.

Подставляя координаты векторов $\vec{AB}=(a, 0, 0)$ и $\vec{AD}=(0, a, 0)$, получаем:

$\vec{AK} = \frac{2}{3}(a, 0, 0) + \frac{1}{3}(0, a, 0) = (\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, 0)$.

Следовательно, координаты точки $K(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, 0)$.

Теперь мы можем найти координаты вектора $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM} = (\frac{2a}{3} - a, \frac{a}{3} - \frac{2a}{3}, 0 - \frac{a}{3}) = (-\frac{a}{3}, -\frac{a}{3}, -\frac{a}{3})$.

Сравним полученные векторы $\vec{MK}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = (a, a, a)$

$\vec{MK} = (-\frac{a}{3}, -\frac{a}{3}, -\frac{a}{3})$

Можно заметить, что $\vec{MK} = -\frac{1}{3}(a, a, a)$, следовательно, $\vec{MK} = -\frac{1}{3}\vec{AC_1}$.

Так как вектор $\vec{MK}$ является произведением вектора $\vec{AC_1}$ на число $k = -\frac{1}{3}$, векторы $\vec{MK}$ и $\vec{AC_1}$ коллинеарны. Поскольку точки $M$ и $K$ не лежат на прямой $AC_1$, прямые $MK$ и $AC_1$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $MK$ и $AC_1$ параллельны.