Номер 32, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 32, страница 34.

Условие.

4.32. Точка $M$ – середина ребра $BC$ тетраэдра $DABC$. Выразите вектор $\overrightarrow{DM}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{DM}$, воспользуемся правилом сложения векторов, представив его как сумму векторов, идущих из точки $D$ в точку $M$ через другие вершины тетраэдра. Наиболее удобным является путь через вершину $A$, так как базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ исходят из этой точки.

Согласно правилу треугольника для сложения векторов, мы можем записать:

$\vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM}$

Теперь необходимо выразить каждый из векторов в правой части равенства через заданные векторы.

1. Вектор $\vec{DA}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{AD}$, но противоположное направление. Следовательно:

$\vec{DA} = -\vec{AD}$

2. Точка $M$ — середина ребра $BC$. В треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ является медианой. Вектор, соответствующий медиане треугольника, равен полусумме векторов, исходящих из той же вершины к двум другим вершинам. Таким образом, для медианы $AM$ треугольника $ABC$ имеем:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{DA}$ и $\vec{AM}$ в исходное равенство для $\vec{DM}$:

$\vec{DM} = (-\vec{AD}) + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Запишем итоговое выражение, поменяв слагаемые местами для удобства:

$\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AD}$

Ответ: $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AD}$