Номер 29, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 29, страница 33.

Условие.

4.29. Дан тетраэдр $DABC$. Медианы грани $ADB$ пересекаются в точке $E$, а медианы грани $BDC$ – в точке $F$.

1) Докажите, что $\vec{EF} \parallel \vec{AC}$.

2) Выразите вектор $\vec{EF}$ через вектор $\vec{AC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Выберем в пространстве произвольную точку $O$ в качестве начала отсчета и будем работать с радиус-векторами вершин тетраэдра: $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$, $\vec{OD}$.

По условию, точка $E$ — это точка пересечения медиан грани $ADB$. Это означает, что $E$ — центроид треугольника $ADB$. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Таким образом, радиус-вектор точки $E$ выражается формулой:
$\vec{OE} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OD} + \vec{OB})$.

Аналогично, точка $F$ — это точка пересечения медиан (центроид) грани $BDC$. Её радиус-вектор:
$\vec{OF} = \frac{1}{3}(\vec{OB} + \vec{OD} + \vec{OC})$.

Теперь найдём вектор $\vec{EF}$, который определяется как разность радиус-векторов его конца и начала:
$\vec{EF} = \vec{OF} - \vec{OE}$.
Подставим в это равенство найденные выражения для $\vec{OE}$ и $\vec{OF}$:
$\vec{EF} = \frac{1}{3}(\vec{OB} + \vec{OD} + \vec{OC}) - \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OD} + \vec{OB})$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки и выполним действия в скобках:
$\vec{EF} = \frac{1}{3}((\vec{OB} + \vec{OD} + \vec{OC}) - (\vec{OA} + \vec{OD} + \vec{OB}))$.
$\vec{EF} = \frac{1}{3}(\vec{OB} + \vec{OD} + \vec{OC} - \vec{OA} - \vec{OD} - \vec{OB})$.
После приведения подобных слагаемых ($\vec{OB}$ и $-\vec{OB}$, $\vec{OD}$ и $-\vec{OD}$) получаем:
$\vec{EF} = \frac{1}{3}(\vec{OC} - \vec{OA})$.

Заметим, что выражение $\vec{OC} - \vec{OA}$ по определению разности векторов равно вектору $\vec{AC}$. Следовательно, мы установили окончательное соотношение между векторами $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{EF} = \frac{1}{3}\vec{AC}$.

Это ключевое равенство позволяет ответить на оба вопроса задачи.

1) Докажите, что EF || AC.

Из полученной нами формулы $\vec{EF} = \frac{1}{3}\vec{AC}$ следует, что вектор $\vec{EF}$ получается из вектора $\vec{AC}$ умножением на скаляр $k = \frac{1}{3}$. По определению, если один ненулевой вектор является произведением другого ненулевого вектора на число, то эти векторы коллинеарны.
Коллинеарные векторы лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так как в общем случае тетраэдра точки $A, C, E, F$ не лежат на одной прямой, то прямые, содержащие отрезки $EF$ и $AC$, параллельны.
Таким образом, $EF \parallel AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Выразите вектор EF через вектор AC.

Искомое выражение было найдено в процессе решения. Вектор $\vec{EF}$ выражается через вектор $\vec{AC}$ следующим образом:
$\vec{EF} = \frac{1}{3}\vec{AC}$.

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{3}\vec{AC}$.