Номер 23, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 23, страница 33.

Условие.

4.23. Образом точки $B$ (3; -4; 1) при гомотетии с центром $A$ (-1; 2; 9) является точка $B_1$ (-2; 3,5; 11). Найдите образ $C_1$ точки $C$ (19; -6; 37) при этой гомотетии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M_1$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — центр гомотетии, а $k$ — коэффициент гомотетии.

В данной задаче центром гомотетии является точка $A(-1; 2; 9)$. Образом точки $B(3; -4; 1)$ является точка $B_1(-2; 3,5; 11)$. Это означает, что выполняется равенство $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AB}$.

1. Нахождение коэффициента гомотетии $k$.
Сначала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AB_1}$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - (-1); -4 - 2; 1 - 9) = (4; -6; -8)$.
$\vec{AB_1} = (x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A) = (-2 - (-1); 3,5 - 2; 11 - 9) = (-1; 1,5; 2)$.

Теперь из векторного равенства $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AB}$ найдем коэффициент $k$, приравнивая соответствующие координаты:
$-1 = k \cdot 4 \implies k = -\frac{1}{4}$
$1,5 = k \cdot (-6) \implies k = \frac{1,5}{-6} = -\frac{3/2}{6} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
$2 = k \cdot (-8) \implies k = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$
Таким образом, коэффициент гомотетии $k = -0,25$ или $k = -1/4$.

2. Нахождение образа $C_1$ точки $C$.
Теперь, зная центр гомотетии $A(-1; 2; 9)$ и коэффициент $k = -1/4$, найдем образ $C_1(x_1; y_1; z_1)$ точки $C(19; -6; 37)$.
Для этого воспользуемся формулой $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AC}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (19 - (-1); -6 - 2; 37 - 9) = (20; -8; 28)$.

Далее вычислим координаты вектора $\vec{AC_1}$:
$\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AC} = -\frac{1}{4} \cdot (20; -8; 28) = (-\frac{20}{4}; -\frac{-8}{4}; -\frac{28}{4}) = (-5; 2; -7)$.

Координаты вектора $\vec{AC_1}$ также равны $(x_1 - x_A; y_1 - y_A; z_1 - z_A)$. Найдем координаты точки $C_1$:
$x_1 - (-1) = -5 \implies x_1 + 1 = -5 \implies x_1 = -6$.
$y_1 - 2 = 2 \implies y_1 = 4$.
$z_1 - 9 = -7 \implies z_1 = 2$.

Следовательно, искомый образ точки $C$ — это точка $C_1$ с координатами $(-6; 4; 2)$.

Ответ: $C_1(-6; 4; 2)$.