Номер 17, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 17, страница 32.

Условие.

4.17. Дано: $\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$, $|\vec{m}| = 5\sqrt{6}$, $\vec{n} (1; -1; 2)$. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены (обозначение $\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$), это означает, что они коллинеарны и направлены в одну сторону. Следовательно, существует такое положительное число $k$ ($k > 0$), что выполняется равенство:

$\vec{m} = k \cdot \vec{n}$

Координаты вектора $\vec{n}$ заданы: $\vec{n}(1; -1; 2)$. Тогда координаты вектора $\vec{m}$ можно выразить через $k$:

$\vec{m} = (k \cdot 1; k \cdot (-1); k \cdot 2) = (k; -k; 2k)$

Длина (модуль) вектора $\vec{m}$ вычисляется по формуле $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Подставим в нее координаты вектора $\vec{m}$:

$|\vec{m}| = \sqrt{k^2 + (-k)^2 + (2k)^2} = \sqrt{k^2 + k^2 + 4k^2} = \sqrt{6k^2} = |k|\sqrt{6}$

По условию задачи, $|\vec{m}| = 5\sqrt{6}$. Составим уравнение:

$|k|\sqrt{6} = 5\sqrt{6}$

Разделив обе части на $\sqrt{6}$, получаем:

$|k| = 5$

Так как векторы сонаправлены, коэффициент $k$ должен быть положительным, следовательно, $k = 5$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{m}$, подставив найденное значение $k$:

$\vec{m} = (5; -5; 2 \cdot 5) = (5; -5; 10)$

Ответ: $(5; -5; 10)$.