Номер 15, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 15, страница 32.

Условие.

4.15. Даны точки A (-3; 6; 4), B (6; -1; 2), C (0; 3; -2). Найдите точку D, принадлежащую плоскости xz, такую, что $\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка $ D $ имеет координаты $ (x; y; z) $.

По условию, точка $ D $ принадлежит плоскости $ xz $. Это означает, что ее координата $ y $ равна нулю. Таким образом, координаты точки $ D $ имеют вид $ (x; 0; z) $.

Найдем координаты векторов $ \vec{AD} $ и $ \vec{BC} $. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.
Даны точки $ A(-3; 6; 4) $, $ B(6; -1; 2) $ и $ C(0; 3; -2) $.

Координаты вектора $ \vec{BC} $:
$ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (0 - 6; 3 - (-1); -2 - 2) = (-6; 4; -4) $.

Координаты вектора $ \vec{AD} $:
$ \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x - (-3); 0 - 6; z - 4) = (x + 3; -6; z - 4) $.

По условию, векторы $ \vec{AD} $ и $ \vec{BC} $ параллельны ($ \vec{AD} \parallel \vec{BC} $). Два ненулевых вектора параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. То есть существует такое число $ k $ (коэффициент пропорциональности), что $ \vec{AD} = k \cdot \vec{BC} $.

Запишем это равенство в координатной форме, что дает нам систему уравнений:
$ \begin{cases} x + 3 = k \cdot (-6) \\ -6 = k \cdot 4 \\ z - 4 = k \cdot (-4) \end{cases} $

Из второго уравнения системы находим значение $ k $:
$ -6 = 4k $
$ k = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} $.

Теперь, зная $ k $, мы можем найти $ x $ и $ z $ из первого и третьего уравнений соответственно.
Подставим $ k = -\frac{3}{2} $ в первое уравнение:
$ x + 3 = (-\frac{3}{2}) \cdot (-6) $
$ x + 3 = 9 $
$ x = 9 - 3 = 6 $.

Подставим $ k = -\frac{3}{2} $ в третье уравнение:
$ z - 4 = (-\frac{3}{2}) \cdot (-4) $
$ z - 4 = 6 $
$ z = 6 + 4 = 10 $.

Следовательно, искомая точка $ D $ имеет координаты $ (6; 0; 10) $.
Ответ: $ D(6; 0; 10) $.