Номер 21, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 21, страница 32.

Условие.

4.21. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ – середина ребра $A_1B_1$, точка $K$ – середина ребра $CC_1$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}, \vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы выразить вектор $\vec{MK}$ через заданные векторы, представим его в виде суммы векторов, образующих ломаную линию от точки M до точки K. Удобно выбрать путь, проходящий по ребрам или их частям: $M \rightarrow B_1 \rightarrow C_1 \rightarrow K$. Тогда вектор $\vec{MK}$ можно записать как сумму:

$\vec{MK} = \vec{MB_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{C_1K}$

Теперь выразим каждый из векторов в этой сумме через $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

По условию, M — середина ребра $A_1B_1$. Это означает, что вектор, идущий из середины отрезка к его концу, равен половине вектора всего отрезка: $\vec{MB_1} = \frac{1}{2}\vec{A_1B_1}$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$. Таким образом, $\vec{MB_1} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Вектор $\vec{B_1C_1}$ является ребром верхнего основания. По свойству параллелепипеда, он параллелен и равен вектору $\vec{AD}$. Следовательно, $\vec{B_1C_1} = \vec{AD}$.

По условию, K — середина ребра $CC_1$. Это означает, что вектор $\vec{C_1K}$ равен половине вектора $\vec{C_1C}$. Вектор $\vec{C_1C}$ противоположен вектору $\vec{CC_1}$, то есть $\vec{C_1C} = -\vec{CC_1}$. В параллелепипеде боковые ребра равны и параллельны, поэтому $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Таким образом, $\vec{C_1K} = \frac{1}{2}\vec{C_1C} = -\frac{1}{2}\vec{CC_1} = -\frac{1}{2}\vec{AA_1}$.

Подставим найденные выражения в исходную сумму для $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$