Номер 26, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 26, страница 33.

Условие.

4.26. Докажите, что при гомотетии образом окружности является окружность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $C$ и радиусом $R$. По определению, окружность — это множество всех точек $M$ на плоскости, расстояние от которых до центра $C$ постоянно и равно радиусу $R$. То есть, для любой точки $M$, принадлежащей окружности $\omega$, выполняется условие $|CM| = R$.

Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \neq 0$. Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Нам необходимо доказать, что образ окружности $\omega$ при гомотетии $H$, который мы обозначим как $\omega'$, также является окружностью.

Пусть $C'$ — это образ центра $C$ исходной окружности при данной гомотетии. По определению гомотетии, $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$.

Пусть $M$ — произвольная точка на исходной окружности $\omega$. Ее образом при гомотетии $H$ будет точка $M'$, для которой справедливо $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Найдем расстояние между точками $C'$ и $M'$. Для этого рассмотрим вектор $\vec{C'M'}$. Используя правило вычитания векторов (правило треугольника), запишем:
$\vec{C'M'} = \vec{OM'} - \vec{OC'}$

Подставим в это равенство выражения для $\vec{OM'}$ и $\vec{OC'}$ из определения гомотетии:
$\vec{C'M'} = k \cdot \vec{OM} - k \cdot \vec{OC}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$\vec{C'M'} = k (\vec{OM} - \vec{OC})$

Выражение в скобках, $\vec{OM} - \vec{OC}$, равно вектору $\vec{CM}$. Таким образом, получаем:
$\vec{C'M'} = k \cdot \vec{CM}$

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{C'M'}$, который и является расстоянием $|C'M'|$ между точками $C'$ и $M'$:
$|C'M'| = |\vec{C'M'}| = |k \cdot \vec{CM}| = |k| \cdot |\vec{CM}|$

Так как точка $M$ лежит на исходной окружности $\omega$ с центром $C$ и радиусом $R$, то длина вектора $\vec{CM}$ равна радиусу $R$, то есть $|\vec{CM}| = R$.

Следовательно, расстояние от точки $C'$ до любой точки $M'$ на образе $\omega'$ постоянно и равно:
$|C'M'| = |k| \cdot R$

Мы получили, что все точки $M'$ образа $\omega'$ находятся на постоянном расстоянии $R' = |k| \cdot R$ от фиксированной точки $C'$. По определению, это и есть окружность с центром в точке $C'$ (образе исходного центра) и радиусом $R'$.

Таким образом, доказано, что образом окружности при гомотетии является окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Образом окружности с центром $C$ и радиусом $R$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ является окружность с центром $C'$ (где $C'$ - образ точки $C$) и радиусом $R' = |k| \cdot R$.