Номер 22, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 22, страница 33.

Условие.

4.22. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Точка $E$ – середина ребра $CC_1$, точка $F$ – середина на ребра $AD$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$, представим его как разность векторов, исходящих из одной точки, например, из точки $A$:

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE}$

Теперь найдем выражения для векторов $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$ через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

По условию, точка $F$ — середина ребра $AD$. Следовательно, вектор $\vec{AF}$ можно выразить как:

$\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

Теперь найдем вектор $\vec{AE}$. Для этого представим его в виде суммы векторов, идущих по ребрам куба из точки $A$ в точку $E$. Например, по ломаной $ADC_1E$:

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CE}$

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то векторы, соответствующие параллельным ребрам, равны:
$\vec{DC} = \vec{AB}$
$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$

Точка $E$ — середина ребра $CC_1$, поэтому $\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.

Подставим эти выражения в сумму для $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Теперь, когда у нас есть выражения для $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$, мы можем найти искомый вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AD} - (\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1})$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AB} - \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

$\vec{EF} = -\vec{AB} + (\frac{1}{2} - 1)\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

$\vec{EF} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{EF} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.