Номер 20, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 20, страница 32.

Условие.

4.20. Точка $E$ – середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{AE}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AE}$ через заданные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, представим его как сумму векторов, идущих по ломаной линии с началом в точке $A$ и концом в точке $E$. Наиболее удобный путь проходит по ребрам куба или их диагоналям.

Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Представим вектор $\vec{AE}$ как сумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CE}$:

$\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE}$

Теперь выразим каждый из векторов в правой части этого равенства через базисные векторы.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания куба — квадрата $ABCD$. По правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из одной точки, имеем:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Точка $E$ по условию является серединой ребра $CC_1$. Это значит, что вектор $\vec{CE}$ направлен так же, как и вектор $\vec{CC_1}$, а его длина равна половине длины ребра. Таким образом, можно записать:

$\vec{CE} = \frac{1}{2} \vec{CC_1}$

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то все его боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим ребрам, равны. В частности:

$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$

Подставим это в выражение для вектора $\vec{CE}$:

$\vec{CE} = \frac{1}{2} \vec{AA_1}$

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CE}$ в исходную формулу для $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \frac{1}{2} \vec{AA_1}$

Раскрыв скобки, получаем окончательное разложение вектора $\vec{AE}$ по заданным векторам:

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2} \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2} \vec{AA_1}$