Номер 16, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 16, страница 32.

Условие.

4.16. Дан вектор $ \vec{a} (-2; 6; 3) $. Найдите координаты вектора $ \vec{b} $, противоположно направленного с вектором $ \vec{a} $, модуль которого равен $ 1 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомый вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x; y; z)$.

По условию, вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a} = (-2; 6; 3)$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$. Так как векторы направлены в противоположные стороны, это число $k$ должно быть отрицательным ($k < 0$).

Координаты вектора $\vec{b}$ можно выразить через координаты вектора $\vec{a}$ следующим образом:
$\vec{b} = (x; y; z) = k \cdot (-2; 6; 3) = (-2k; 6k; 3k)$.

Второе условие задачи — модуль (длина) вектора $\vec{b}$ равен 1, то есть $|\vec{b}| = 1$.
Модуль вектора вычисляется по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Подставим в нее координаты вектора $\vec{b}$:
$|\vec{b}| = \sqrt{(-2k)^2 + (6k)^2 + (3k)^2} = \sqrt{4k^2 + 36k^2 + 9k^2} = \sqrt{49k^2}$.

Так как $\sqrt{k^2} = |k|$, то $|\vec{b}| = \sqrt{49} \cdot \sqrt{k^2} = 7|k|$.
Приравниваем полученное выражение для модуля к 1:
$7|k| = 1$
$|k| = \frac{1}{7}$.

Это означает, что $k = \frac{1}{7}$ или $k = -\frac{1}{7}$. Поскольку, как мы определили ранее, векторы направлены противоположно, выбираем отрицательное значение $k$:
$k = -\frac{1}{7}$.

Теперь, зная значение $k$, мы можем найти координаты вектора $\vec{b}$:
$x = -2k = -2 \cdot (-\frac{1}{7}) = \frac{2}{7}$
$y = 6k = 6 \cdot (-\frac{1}{7}) = -\frac{6}{7}$
$z = 3k = 3 \cdot (-\frac{1}{7}) = -\frac{3}{7}$

Следовательно, искомый вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7})$.

Ответ: $(\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7})$