Номер 9, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 9, страница 32.

Условие.

4.9. Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$, если $D (2; -3; 4)$, $E (-1; 6; 2)$, $F (-2; 8; 6)$, $K (-3; 11; 7)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$, необходимо найти их координаты и проверить, являются ли они пропорциональными.

1. Нахождение координат векторов.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек.
Для вектора $\overrightarrow{DE}$ с начальной точкой $D(2; -3; 4)$ и конечной точкой $E(-1; 6; 2)$ координаты будут:
$\overrightarrow{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (-1 - 2; 6 - (-3); 2 - 4) = (-3; 9; -2)$.
Для вектора $\overrightarrow{FK}$ с начальной точкой $F(-2; 8; 6)$ и конечной точкой $K(-3; 11; 7)$ координаты будут:
$\overrightarrow{FK} = (x_K - x_F; y_K - y_F; z_K - z_F) = (-3 - (-2); 11 - 8; 7 - 6) = (-1; 3; 1)$.

2. Проверка условия коллинеарности.

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\overrightarrow{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\overrightarrow{b} = (x_2; y_2; z_2)$ должно выполняться равенство:
$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$
Проверим это условие для найденных векторов $\overrightarrow{DE} = (-3; 9; -2)$ и $\overrightarrow{FK} = (-1; 3; 1)$.
Составим отношения их соответствующих координат:
$\frac{-3}{-1} = 3$
$\frac{9}{3} = 3$
$\frac{-2}{1} = -2$
Так как полученные отношения не равны между собой ($3 = 3 \ne -2$), то условие пропорциональности координат не выполняется. Следовательно, векторы не коллинеарны.

Ответ: векторы $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$ не являются коллинеарными.