Номер 8, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 32.

Условие.

4.8. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если $A(4; -1; -4)$, $B(0; 5; 6)$, $C(0; 2; 7)$, $D(2; -1; 2)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Чтобы определить, коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, необходимо сначала найти их координаты.

Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, если $A(4; -1; -4)$ и $B(0; 5; 6)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 4; 5 - (-1); 6 - (-4)) = (-4; 6; 10)$

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, если $C(0; 2; 7)$ и $D(2; -1; 2)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (2 - 0; -1 - 2; 2 - 7) = (2; -3; -5)$

3. Теперь проверим, пропорциональны ли координаты векторов $\vec{AB}(-4; 6; 10)$ и $\vec{CD}(2; -3; -5)$. Для этого найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{-4}{2} = -2$

$\frac{6}{-3} = -2$

$\frac{10}{-5} = -2$

Поскольку отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (k = -2), то векторы коллинеарны. Это означает, что $\vec{AB} = -2 \cdot \vec{CD}$.

Ответ: да, векторы коллинеарны.