Номер 14, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 14, страница 32.

Условие.

4.14. Дан вектор $\vec{a}$ (3; 2; 1). Найдите коллинеарный ему вектор $\vec{AB}$, если $A$ (1; 1; 1), а точка $B$ принадлежит плоскости $yz$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи дан вектор $\vec{a}(3; 2; 1)$ и точка $A(1; 1; 1)$. Точка $B$ принадлежит плоскости $yz$, что означает, что ее координата по оси $x$ равна нулю. Таким образом, координаты точки $B$ можно записать как $(0; y_B; z_B)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность координат его конца (точки $B$) и начала (точки $A$):

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 1; y_B - 1; z_B - 1) = (-1; y_B - 1; z_B - 1)$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{a}$ коллинеарны. Это означает, что существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{AB} = k \cdot \vec{a}$.

Запишем это равенство в координатной форме:

$(-1; y_B - 1; z_B - 1) = k \cdot (3; 2; 1) = (3k; 2k; k)$.

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему из трех уравнений:

$ \begin{cases} -1 = 3k \\ y_B - 1 = 2k \\ z_B - 1 = k \end{cases} $

Из первого уравнения находим значение коэффициента пропорциональности $k$:

$k = -\frac{1}{3}$.

Теперь, когда $k$ известно, мы можем найти координаты искомого вектора $\vec{AB}$, используя равенство $\vec{AB} = k \cdot \vec{a}$:

$\vec{AB} = -\frac{1}{3} \cdot (3; 2; 1) = (-\frac{1}{3} \cdot 3; -\frac{1}{3} \cdot 2; -\frac{1}{3} \cdot 1) = (-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.

Для проверки можно найти координаты точки $B$, подставив значение $k$ во второе и третье уравнения системы:

$y_B - 1 = 2 \cdot (-\frac{1}{3}) \implies y_B = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

$z_B - 1 = -\frac{1}{3} \implies z_B = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Координаты точки $B$ равны $(0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3})$. Тогда вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(0-1; \frac{1}{3}-1; \frac{2}{3}-1) = (-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$, что подтверждает правильность нашего решения.

Ответ: $\vec{AB}(-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.