Номер 19, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 19, страница 32.

Условие.

4.19. Точки A, B и C таковы, что $\vec{AB}(10; 15; -5)$ и $\vec{AC}(-6; y; z)$. При каких значениях $y$ и $z$ точки A, B и C лежат на одной прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы точки A, B и C лежали на одной прямой, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ должны быть коллинеарными.

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, или, что то же самое:
$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$

В нашем случае даны векторы $\vec{AB}(10; 15; -5)$ и $\vec{AC}(-6; y; z)$. Запишем условие их коллинеарности:
$\frac{10}{-6} = \frac{15}{y} = \frac{-5}{z}$

Найдем $y$ из пропорции:
$\frac{10}{-6} = \frac{15}{y}$
Упростим левую часть:
$-\frac{5}{3} = \frac{15}{y}$
Выразим $y$:
$y = \frac{15 \cdot 3}{-5} = \frac{45}{-5} = -9$

Теперь найдем $z$ из пропорции:
$\frac{10}{-6} = \frac{-5}{z}$
$-\frac{5}{3} = \frac{-5}{z}$
Выразим $z$:
$z = \frac{-5 \cdot 3}{-5} = 3$

Следовательно, точки A, B и C лежат на одной прямой при $y = -9$ и $z = 3$.

Ответ: $y = -9, z = 3$.