Номер 18, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 18, страница 32.

Условие.

4.18. Лежат ли на одной прямой точки:

1) $A (5; 6; -4)$, $B (7; 8; 2)$ и $C (3; 4; 14)$;

2) $D (-1; -7; -8)$, $E (0; -4; -4)$ и $F (2; 2; 4)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, необходимо проверить, являются ли коллинеарными векторы, образованные этими точками. Если векторы, построенные на этих точках, коллинеарны (то есть их соответствующие координаты пропорциональны), то точки лежат на одной прямой.

1) A (5; 6; -4), B (7; 8; 2) и C (3; 4; 14)

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (7 - 5; 8 - 6; 2 - (-4)) = (2; 2; 6)$.
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (3 - 5; 4 - 6; 14 - (-4)) = (-2; -2; 18)$.

Теперь проверим, пропорциональны ли координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Для этого найдем отношение их соответствующих координат:
$\frac{-2}{2} = -1$
$\frac{-2}{2} = -1$
$\frac{18}{6} = 3$

Так как отношения координат не равны ($-1 \neq 3$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны. Следовательно, точки A, B и C не лежат на одной прямой.
Ответ: нет, точки не лежат на одной прямой.

2) D (-1; -7; -8), E (0; -4; -4) и F (2; 2; 4)

Аналогично найдем координаты векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$.
$\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (0 - (-1); -4 - (-7); -4 - (-8)) = (1; 3; 4)$.
$\vec{DF} = (x_F - x_D; y_F - y_D; z_F - z_D) = (2 - (-1); 2 - (-7); 4 - (-8)) = (3; 9; 12)$.

Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$:
$\frac{3}{1} = 3$
$\frac{9}{3} = 3$
$\frac{12}{4} = 3$

Так как отношения всех соответствующих координат равны 3, векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ коллинеарны, причем $\vec{DF} = 3 \cdot \vec{DE}$. Так как эти векторы имеют общую начальную точку D, то точки D, E и F лежат на одной прямой.
Ответ: да, точки лежат на одной прямой.