Номер 24, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 24, страница 33.

Условие.

4.24. Образом точки $M (2; 3; -5)$ при гомотетии с центром $A (1; 0; -1)$ является точка $M_1 (4; 9; -13)$. Найдите прообраз $K$ точки $K_1 (16; -21; 2)$ при этой гомотетии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По определению гомотетии с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$, образ $M_1$ точки $M$ удовлетворяет векторному равенству $\vec{AM_1} = k \cdot \vec{AM}$.

Сначала найдем коэффициент гомотетии $k$, используя данные из условия: центр гомотетии $A(1; 0; -1)$, точка $M(2; 3; -5)$ и ее образ $M_1(4; 9; -13)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AM_1}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{AM} = (2-1; 3-0; -5-(-1)) = (1; 3; -4)$.

$\vec{AM_1} = (4-1; 9-0; -13-(-1)) = (3; 9; -12)$.

Подставим найденные координаты векторов в формулу гомотетии $\vec{AM_1} = k \cdot \vec{AM}$:

$(3; 9; -12) = k \cdot (1; 3; -4)$.

Это векторное равенство эквивалентно системе уравнений для каждой из координат:

$3 = k \cdot 1 \implies k = 3$

$9 = k \cdot 3 \implies k = 3$

$-12 = k \cdot (-4) \implies k = 3$

Таким образом, коэффициент гомотетии $k=3$.

Теперь необходимо найти прообраз $K$ точки $K_1(16; -21; 2)$ при этой же гомотетии. Это значит, что точка $K$ является исходной точкой, которая преобразуется в точку $K_1$. Обозначим координаты искомой точки $K$ как $(x; y; z)$.

Для точек $K$ и $K_1$ справедливо аналогичное векторное равенство: $\vec{AK_1} = k \cdot \vec{AK}$.

Чтобы найти координаты точки $K$, выразим из этого равенства вектор $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \frac{1}{k} \cdot \vec{AK_1} = \frac{1}{3} \vec{AK_1}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AK_1}$:

$\vec{AK_1} = (16-1; -21-0; 2-(-1)) = (15; -21; 3)$.

Теперь вычислим координаты вектора $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \frac{1}{3} \cdot (15; -21; 3) = (\frac{15}{3}; \frac{-21}{3}; \frac{3}{3}) = (5; -7; 1)$.

С другой стороны, координаты вектора $\vec{AK}$ можно выразить через координаты его начала $A(1; 0; -1)$ и конца $K(x; y; z)$:

$\vec{AK} = (x-1; y-0; z-(-1)) = (x-1; y; z+1)$.

Приравнивая два полученных выражения для координат вектора $\vec{AK}$, получаем систему уравнений:

$x - 1 = 5 \implies x = 6$

$y = -7$

$z + 1 = 1 \implies z = 0$

Следовательно, координаты искомого прообраза $K$ равны $(6; -7; 0)$.

Ответ: $K(6; -7; 0)$.