Номер 30, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 30, страница 34.

Условие.

4.30. Медианы грани $ABC$ тетраэдра $DABC$ пересекаются в точке $O$. Выразите вектор $\vec{DC}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DO}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку точка O является точкой пересечения медиан грани ABC, она является центроидом треугольника ABC.

Для любой точки в пространстве (в данном случае для вершины D тетраэдра) радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Это свойство можно записать в виде следующего векторного равенства:

$\vec{DO} = \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC})$

Чтобы выразить вектор $\vec{DC}$ из этого уравнения, сначала умножим обе его части на 3:

$3\vec{DO} = \vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}$

Теперь оставим в правой части только искомый вектор $\vec{DC}$, перенеся остальные слагаемые в левую часть:

$\vec{DC} = 3\vec{DO} - \vec{DA} - \vec{DB}$

Ответ: $\vec{DC} = 3\vec{DO} - \vec{DA} - \vec{DB}$