Номер 37, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 37, страница 34.

Условие.

4.37. Точки $M, F$ и $K$ – середины соответственно рёбер $BC, AD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$. На отрезке $AM$ отметили точку $P$, а на отрезке $CF$ – точку $E$ так, что $AP : PM = 4 : 1$, $CE : EF = 2 : 3$. Докажите, что прямые $PE$ и $BK$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства параллельности прямых $PE$ и $BK$ воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы, отложенные от вершины тетраэдра $D$:

$\vec{DA} = \vec{a}$

$\vec{DB} = \vec{b}$

$\vec{DC} = \vec{c}$

Выразим координаты всех нужных точек через эти векторы.

1. Точка $M$ — середина ребра $BC$. Ее радиус-вектор $\vec{DM}$ равен полусумме радиус-векторов точек $B$ и $C$:

$\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

2. Точка $F$ — середина ребра $AD$. Ее радиус-вектор $\vec{DF}$:

$\vec{DF} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DD}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{0}) = \frac{1}{2}\vec{a}$

3. Точка $K$ — середина ребра $CD$. Ее радиус-вектор $\vec{DK}$:

$\vec{DK} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{DD}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{0}) = \frac{1}{2}\vec{c}$

4. Точка $P$ лежит на отрезке $AM$ и делит его в отношении $AP : PM = 4 : 1$. По формуле деления отрезка в данном отношении, радиус-вектор точки $P$ можно выразить через радиус-векторы точек $A$ и $M$:

$\vec{DP} = \frac{1 \cdot \vec{DA} + 4 \cdot \vec{DM}}{1 + 4} = \frac{1}{5}(\vec{DA} + 4\vec{DM})$

Подставим известные выражения для $\vec{DA}$ и $\vec{DM}$:

$\vec{DP} = \frac{1}{5}(\vec{a} + 4 \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{5}(\vec{a} + 2(\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{5}(\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c})$

5. Точка $E$ лежит на отрезке $CF$ и делит его в отношении $CE : EF = 2 : 3$. Аналогично, выразим радиус-вектор точки $E$ через радиус-векторы точек $C$ и $F$:

$\vec{DE} = \frac{3 \cdot \vec{DC} + 2 \cdot \vec{DF}}{3 + 2} = \frac{1}{5}(3\vec{DC} + 2\vec{DF})$

Подставим известные выражения для $\vec{DC}$ и $\vec{DF}$:

$\vec{DE} = \frac{1}{5}(3\vec{c} + 2 \cdot \frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{1}{5}(\vec{a} + 3\vec{c})$

Теперь найдем векторы $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$.

Найдем вектор $\vec{PE}$:

$\vec{PE} = \vec{DE} - \vec{DP} = \frac{1}{5}(\vec{a} + 3\vec{c}) - \frac{1}{5}(\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c})$

$\vec{PE} = \frac{1}{5}(\vec{a} + 3\vec{c} - \vec{a} - 2\vec{b} - 2\vec{c}) = \frac{1}{5}(-2\vec{b} + \vec{c})$

Найдем вектор $\vec{BK}$:

$\vec{BK} = \vec{DK} - \vec{DB} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{c} - 2\vec{b})$

Сравним полученные векторы:

$\vec{PE} = \frac{1}{5}(\vec{c} - 2\vec{b})$

$\vec{BK} = \frac{1}{2}(\vec{c} - 2\vec{b})$

Мы видим, что вектор $\vec{PE}$ можно выразить через вектор $\vec{BK}$:

$\vec{PE} = \frac{1}{5}(\vec{c} - 2\vec{b}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}(\vec{c} - 2\vec{b}) = \frac{2}{5}\vec{BK}$

Так как вектор $\vec{PE}$ является произведением вектора $\vec{BK}$ на число $k = \frac{2}{5}$ (т.е. $\vec{PE} = k \cdot \vec{BK}$), то векторы $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$ коллинеарны.

Поскольку точки $P, E, B, K$ не лежат на одной прямой, коллинеарность векторов $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$ означает, что прямые $PE$ и $BK$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.