Номер 33, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 33, страница 34.

Условие.

4.33. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Диагонали грани $CC_1D_1D$ пересекаются в точке $M$. Выразите вектор $\vec{AM}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей грани $CC_1D_1D$.

Грань $CC_1D_1D$ является параллелограммом. В параллелограмме диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой диагонали $CD_1$ (а также диагонали $C_1D$).

Для нахождения вектора $\vec{AM}$ воспользуемся правилом нахождения вектора, идущего в середину отрезка. Если $M$ – середина отрезка $CD_1$, то вектор $\vec{AM}$ можно выразить как полусумму векторов, проведенных из точки $A$ в концы отрезка $C$ и $D_1$:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD_1})$

Теперь выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$ через базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю грани $ABCD$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма) получаем:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма) получаем:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Подставим полученные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$ в формулу для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} + \vec{AA_1}))$

Сгруппируем подобные слагаемые в скобках:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + 2\vec{AD} + \vec{AA_1})$

Раскроем скобки:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$