Номер 34, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 34, страница 34.

Условие.

4.34. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AD$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 1 : 3$, а на отрезке $C_1D$ – точку $K$ так, что $C_1K : KD = 3 : 2$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}, \vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем базис векторов, исходящих из вершины A параллелепипеда:

$\vec{a} = \vec{AB}$
$\vec{b} = \vec{AD}$
$\vec{c} = \vec{AA_1}$

Искомый вектор $\vec{MK}$ можно выразить как разность векторов, проведенных из одной точки, например, из вершины A (это равносильно использованию радиус-векторов точек в системе координат с началом в точке A):

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM}$

Теперь найдем каждый из векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ в заданном базисе.

1. Нахождение вектора $\vec{AM}$

Точка M лежит на ребре AD, и по условию $AM : MD = 1 : 3$. Это означает, что длина отрезка AM составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ от длины всего ребра AD. Так как векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены, то:

$\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}$

2. Нахождение вектора $\vec{AK}$

Точка K лежит на отрезке $C_1D$ и делит его в отношении $C_1K : KD = 3 : 2$. Вектор $\vec{AK}$ можно найти по формуле деления отрезка в заданном отношении:

$\vec{AK} = \frac{2 \cdot \vec{AC_1} + 3 \cdot \vec{AD}}{3+2} = \frac{2\vec{AC_1} + 3\vec{AD}}{5}$

Выразим векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{AD}$ через базисные векторы:

Вектор $\vec{AD}$ является базисным: $\vec{AD} = \vec{b}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ является диагональю параллелепипеда. Его можно представить как сумму векторов, идущих по ребрам:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1}$

В параллелепипеде $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$. Тогда:

$\vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Теперь подставим выражения для $\vec{AC_1}$ и $\vec{AD}$ в формулу для $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + 3\vec{b}}{5} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 3\vec{b}}{5} = \frac{2\vec{a} + 5\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$

$\vec{AK} = \frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

3. Нахождение вектора $\vec{MK}$

Теперь, зная выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$, найдем их разность:

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM} = \left(\frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}\right) - \left(\frac{1}{4}\vec{b}\right)$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых базисных векторах:

$\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{a} + \left(1 - \frac{1}{4}\right)\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

$\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{a} + \left(\frac{4}{4} - \frac{1}{4}\right)\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

$\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

Заменив базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ на исходные $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, получим окончательный ответ.

Ответ: $\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AD} + \frac{2}{5}\vec{AA_1}$.