Номер 39, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 39, страница 34.

Условие.

4.39. Основание равнобедренного треугольника равно 48 см, а его площадь — 432 см². Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой, связывающей его с площадью треугольника $S$ и его полупериметром $p$:
$r = \frac{S}{p}$
Площадь треугольника нам дана: $S = 432 \text{ см}^2$. Для нахождения радиуса необходимо вычислить полупериметр треугольника.

1. Найдем высоту треугольника.
Пусть основание треугольника $a = 48$ см. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $h$ — высота, проведенная к основанию.
$432 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot h$
$432 = 24 \cdot h$
$h = \frac{432}{24} = 18$ см.

2. Найдем боковую сторону треугольника.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Она делит основание на два равных отрезка по $\frac{48}{2} = 24$ см. Эта высота, половина основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник. Найдем боковую сторону $b$ по теореме Пифагора:
$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$
$b^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$
$b = \sqrt{900} = 30$ см.

3. Найдем полупериметр.
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон:
$P = a + b + b = 48 + 30 + 30 = 108$ см.
Полупериметр $p$ равен половине периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{108}{2} = 54$ см.

4. Найдем радиус вписанной окружности.
Теперь, зная площадь и полупериметр, мы можем найти радиус:
$r = \frac{S}{p} = \frac{432}{54} = 8$ см.
Ответ: 8 см.