Номер 36, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 36, страница 34.

Условие.

4.36. Точки $E$ и $F$ являются серединами рёбер $BC$ и $AD$ тетраэдра $DABC$ соответственно. На отрезках $BD$, $EF$ и $AC$ отметили соответственно точки $M$, $K$ и $P$ так, что $DM : MB = FK : KE = AP : PC = 2 : 1$. Докажите, что точки $M$, $K$ и $P$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Доказательство

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в одной из вершин тетраэдра, например, в точке B. Введем базисные векторы: $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$, $\vec{BD} = \vec{d}$. Поскольку DABC - тетраэдр, векторы $\vec{a}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ не компланарны.

Выразим радиус-векторы всех необходимых точек через базисные векторы.

1. Точка E – середина ребра BC. Ее радиус-вектор:
$\vec{BE} = \frac{1}{2}(\vec{BB} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{c}$.

2. Точка F – середина ребра AD. Ее радиус-вектор:
$\vec{BF} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BD}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{d})$.

3. Точка M делит отрезок BD в отношении $DM:MB = 2:1$. Это означает, что $BM = \frac{1}{3}BD$. Тогда радиус-вектор точки M:
$\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BD} = \frac{1}{3}\vec{d}$.

4. Точка P делит отрезок AC в отношении $AP:PC = 2:1$. По формуле деления отрезка в заданном отношении, радиус-вектор точки P:
$\vec{BP} = \frac{1 \cdot \vec{BA} + 2 \cdot \vec{BC}}{1 + 2} = \frac{1}{3}\vec{BA} + \frac{2}{3}\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$.

5. Точка K делит отрезок EF в отношении $FK:KE = 2:1$. Ее радиус-вектор:
$\vec{BK} = \frac{1 \cdot \vec{BF} + 2 \cdot \vec{BE}}{1 + 2} = \frac{1}{3}(\vec{BF} + 2\vec{BE})$.
Подставим ранее найденные выражения для $\vec{BF}$ и $\vec{BE}$:
$\vec{BK} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{d}) + 2 \cdot \frac{1}{2}\vec{c}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}\right) = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}$.

Для того чтобы доказать, что точки M, K и P лежат на одной прямой, достаточно показать, что векторы $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$ коллинеарны, то есть один является произведением другого на некоторое число. Найдем координаты этих векторов.

Найдем вектор $\vec{MK}$:
$\vec{MK} = \vec{BK} - \vec{BM} = \left(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}\right) - \frac{1}{3}\vec{d} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c} - \frac{1}{6}\vec{d}$.

Найдем вектор $\vec{MP}$:
$\vec{MP} = \vec{BP} - \vec{BM} = \left(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}\right) - \frac{1}{3}\vec{d} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{d}$.

Теперь сравним полученные векторы. Заметим, что:
$2 \cdot \vec{MK} = 2 \cdot \left(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c} - \frac{1}{6}\vec{d}\right) = \frac{2}{6}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{2}{6}\vec{d} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{d} = \vec{MP}$.

Таким образом, мы получили, что $\vec{MP} = 2\vec{MK}$. Это означает, что векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MK}$ коллинеарны. Поскольку они отложены от одной точки M, точки M, K и P лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки M, K и P лежат на одной прямой.