Номер 41, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 41, страница 34.

Условие.

4.41. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а площадь основания относится к площади боковой грани как 3 : 7. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $a$ — сторона основания правильной треугольной пирамиды, $S_{осн}$ — площадь основания, $S_{гр}$ — площадь боковой грани, а $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи, сторона основания $a = 5$ см. Основание пирамиды — правильный (равносторонний) треугольник. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 5$:

$S_{осн} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ см²

Известно, что отношение площади основания к площади боковой грани равно $3 : 7$:

$\frac{S_{осн}}{S_{гр}} = \frac{3}{7}$

Отсюда можем найти площадь боковой грани:

$S_{гр} = \frac{7}{3} S_{осн} = \frac{7}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{175\sqrt{3}}{12}$ см²

Боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a = 5$ см. Площадь этого треугольника также можно выразить через его основание и высоту (апофему пирамиды, $h_a$):

$S_{гр} = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

Найдем апофему $h_a$:

$h_a = \frac{2 S_{гр}}{a} = \frac{2 \cdot \frac{175\sqrt{3}}{12}}{5} = \frac{\frac{175\sqrt{3}}{6}}{5} = \frac{175\sqrt{3}}{30} = \frac{35\sqrt{3}}{6}$ см

Высота пирамиды $H$, её апофема $h_a$ и радиус $r$ окружности, вписанной в основание, образуют прямоугольный треугольник, в котором апофема является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$H^2 + r^2 = h_a^2$

Следовательно, $H = \sqrt{h_a^2 - r^2}$.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, равен:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2\sqrt{3}}$ см

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H^2 = \left(\frac{35\sqrt{3}}{6}\right)^2 - \left(\frac{5}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{35^2 \cdot 3}{6^2} - \frac{5^2}{2^2 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{1225 \cdot 3}{36} - \frac{25}{4 \cdot 3} = \frac{1225}{12} - \frac{25}{12} = \frac{1200}{12} = 100$

$H = \sqrt{100} = 10$ см

Ответ: 10 см.