Номер 7, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 38.

Условие.

7. Какие векторы называют перпендикулярными?

Решение 1.

Решение 3.

Перпендикулярными (или ортогональными) называют два ненулевых вектора, если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). Основным критерием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между ними. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, то для перпендикулярных векторов $\vec{a} \perp \vec{b}$ их скалярное произведение всегда равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Это утверждение работает и в обратную сторону: если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то они перпендикулярны.

Если векторы заданы в координатах, то условие перпендикулярности можно записать через них. Для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ они перпендикулярны, если выполняется равенство $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$. Для векторов в пространстве $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ условие перпендикулярности выглядит как $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.

Следует также отметить, что нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается перпендикулярным любому вектору, поскольку его скалярное произведение с любым вектором равно нулю.

Ответ: Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними составляет $90^\circ$. Эквивалентным и наиболее часто используемым определением является следующее: два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.