Номер 6, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 6, страница 38.

Условие.

6. В каких пределах находится угол между любыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

Решение 1.

Решение 3.

Угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это наименьший угол, который образуется между лучами, выходящими из одной точки и сонаправленными с этими векторами. Обозначим этот угол греческой буквой $\theta$ (тета).

Рассмотрим предельные случаи взаимного расположения векторов:

• Минимальный угол: Если векторы сонаправлены (т.е. коллинеарны и смотрят в одну сторону), угол между ними равен $0^\circ$ или $0$ радиан. Это наименьшее возможное значение.
• Максимальный угол: Если векторы противоположно направлены (т.е. коллинеарны и смотрят в разные стороны), угол между ними равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Это наибольшее возможное значение, так как по определению всегда выбирается меньший из двух углов (например, $180^\circ$, а не $360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$).

Это также можно показать через определение скалярного произведения векторов:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta$

Из этой формулы можно выразить косинус угла между векторами:
$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Область значений функции косинуса находится в интервале от $-1$ до $1$ включительно:
$-1 \le \cos\theta \le 1$

Этому диапазону значений косинуса соответствует угол $\theta$, который может принимать значения от $0$ до $\pi$ радиан, или от $0^\circ$ до $180^\circ$ градусов.
Таким образом, для угла $\theta$ между любыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо неравенство:
$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$

Ответ: Угол между любыми векторами находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ включительно (или от $0$ до $\pi$ в радианах).