Номер 13, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 13, страница 38.

Условие.

13. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты?

Решение 1.

Решение 3.

Чтобы найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты, необходимо вычислить сумму произведений их соответствующих (одноименных) координат.

Для векторов на плоскости (в 2D)

Пусть даны два вектора $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$.
Их скалярное произведение, которое обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$, вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Для векторов в пространстве (в 3D)

Аналогично, для двух векторов в пространстве $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, скалярное произведение вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$

Это правило обобщается для векторов любой размерности.

Пример

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{c} = \{2; -5; 1\}$ и $\vec{d} = \{4; 3; -2\}$.
Решение:
Перемножаем соответствующие координаты и складываем полученные произведения:
$\vec{c} \cdot \vec{d} = (2 \cdot 4) + ((-5) \cdot 3) + (1 \cdot (-2)) = 8 - 15 - 2 = -9$.

Ответ: Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат. Для векторов $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ формула скалярного произведения в координатах имеет вид: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$.