Номер 15, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 15, страница 38.

Условие.

15. Запишите свойства скалярного произведения векторов.

Решение 1.

Решение 3.

Коммутативность (переместительное свойство)
Скалярное произведение векторов не зависит от порядка сомножителей. Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Дистрибутивность (распределительное свойство) относительно сложения векторов
Скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений каждого из этих векторов на третий вектор. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.
Ответ: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

Ассоциативность (сочетательное свойство) относительно умножения на скаляр
Скалярное произведение вектора, умноженного на число (скаляр), на другой вектор равно произведению этого числа на скалярное произведение векторов. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого скаляра $k$ справедливо равенство: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$.
Ответ: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$

Свойство скалярного квадрата
Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины (модуля). Скалярный квадрат вектора является неотрицательной величиной. Для любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается тогда и только тогда, когда вектор является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$).
Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны). Если $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$.
Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$ (для ненулевых векторов)