Номер 2, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 2, страница 39.

Условие.

5.2. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $40^\circ$. Чему равен угол между векторами:

1) $2\vec{a}$ и $\vec{b}$;

2) $\vec{a}$ и $-\vec{b}$;

3) $-3\vec{a}$ и $-5\vec{b}$;

4) $-7\vec{a}$ и $10\vec{b}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Основное правило, которое мы будем использовать, заключается в том, как умножение вектора на скаляр (число) влияет на его направление:

• Если скаляр $k > 0$, то вектор $k\vec{v}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{v}$.
• Если скаляр $k < 0$, то вектор $k\vec{v}$ имеет направление, противоположное направлению вектора $\vec{v}$.

Угол между векторами зависит только от их направлений. Нам дано, что угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $40^\circ$.

1) $2\vec{a}$ и $\vec{b}$

Вектор $2\vec{a}$ получен умножением вектора $\vec{a}$ на положительное число $2$. Следовательно, направление вектора $2\vec{a}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$. Направление вектора $\vec{b}$ не изменилось. Таким образом, угол между $2\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен углу между $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: $40^\circ$

2) $\vec{a}$ и $-\vec{b}$

Вектор $-\vec{b}$ получен умножением вектора $\vec{b}$ на отрицательное число $-1$. Его направление противоположно направлению вектора $\vec{b}$. Угол между вектором $\vec{a}$ и вектором, противоположным $\vec{b}$, является смежным с углом между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (если отложить их от одной точки). Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Искомый угол равен $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$

3) $-3\vec{a}$ и $-5\vec{b}$

Вектор $-3\vec{a}$ имеет направление, противоположное вектору $\vec{a}$ (так как $-3 < 0$). Вектор $-5\vec{b}$ имеет направление, противоположное вектору $\vec{b}$ (так как $-5 < 0$). Если изменить направление обоих векторов на противоположные, угол между ними не изменится. Представьте, что вы повернули оба исходных вектора на $180^\circ$ вокруг их общего начала; угол между ними сохранится.

Искомый угол равен углу между $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: $40^\circ$

4) $-7\vec{a}$ и $10\vec{b}$

Вектор $-7\vec{a}$ имеет направление, противоположное вектору $\vec{a}$ (так как $-7 < 0$). Вектор $10\vec{b}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{b}$ (так как $10 > 0$). Ситуация аналогична пункту 2): мы ищем угол между вектором, противоположным $\vec{a}$, и вектором $\vec{b}$. Этот угол будет смежным с углом между $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Искомый угол равен $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$