Номер 5, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 5, страница 39.

Условие.

$|m|=1, \angle(m,n) = 120^\circ$.

5.5. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=3\sqrt{2}$. Найдите:

1) $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{b}$;

2) $(2\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{a}$;

3) $(\vec{a}-\vec{b})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а также квадраты их длин, используя данные из условия: угол между векторами $\alpha = 45^\circ$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 3\sqrt{2}$.

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} = 9$.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{v}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. $|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$. $|\vec{b}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Теперь решим каждый пункт.

1) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (раскрываем скобки), получаем: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Подставляем ранее вычисленные значения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 18$. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 9 + 18 = 27$.

Ответ: 27.

2) $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}$

Раскрываем скобки, используя свойства скалярного произведения: $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = (2\vec{a}) \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) - \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Подставляем значения: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 9$ и $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} = 9$. $2 \cdot 9 - 9 = 18 - 9 = 9$.

Ответ: 9.

3) $(\vec{a} - \vec{b})^2$

Квадрат вектора равен его скалярному произведению на себя. Раскрываем скобки по формуле квадрата разности: $(\vec{a} - \vec{b})^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Это выражение равно $|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$. Подставляем известные значения: $|\vec{a}|^2 = 9$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$, $|\vec{b}|^2 = 18$. $9 - 2 \cdot 9 + 18 = 9 - 18 + 18 = 9$.

Ответ: 9.