Номер 3, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 3, страница 39.

Условие.

5.3. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=2\sqrt{3}$, $|\vec{b}|=5$, $\angle(\vec{a},\vec{b})=30^{\circ}$;

2) $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=7$, $\angle(\vec{a},\vec{b})=135^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле, которая связывает длины векторов и косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

В данном случае нам даны следующие значения:
Длина вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = 2\sqrt{3}$
Длина вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = 5$
Угол между векторами: $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$

Косинус угла $30^\circ$ является табличным значением:
$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполним вычисления:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Ответ: $15$

2)

Для второго случая используем ту же формулу скалярного произведения векторов.

Нам даны следующие значения:
Длина вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = 4$
Длина вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = 7$
Угол между векторами: $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$

Найдем косинус угла $135^\circ$. Можно использовать формулу приведения:
$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 7 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Выполним вычисления:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 28 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{28\sqrt{2}}{2} = -14\sqrt{2}$

Ответ: $-14\sqrt{2}$