Номер 14, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 14, страница 38.

Условие.

14. Как найти косинус угла между векторами, если известны их координаты?

Решение 1.

Решение 3.

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, если известны их координаты, нужно использовать формулу, которая следует из определения скалярного произведения векторов. Скалярное произведение можно выразить двумя способами: через координаты векторов и через их длины (модули) и косинус угла между ними. Приравнивая эти два выражения, можно вывести искомую формулу.

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами:

• $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$
• $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$

Косинус угла $\theta$ между этими векторами вычисляется как отношение их скалярного произведения к произведению их длин.

Общая формула выглядит так:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Для вычисления по этой формуле необходимо рассчитать три компонента:

1. Скалярное произведение векторов ($\vec{a} \cdot \vec{b}$). Оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат векторов:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

2. Длина (модуль) вектора $\vec{a}$ ($|\vec{a}|$). Она равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:
$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$

3. Длина (модуль) вектора $\vec{b}$ ($|\vec{b}|$):
$|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$

Подставив эти выражения в исходную формулу, получаем окончательный вид для вычисления косинуса угла через координаты:

$\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Эта формула справедлива как для векторов в трехмерном пространстве, так и для векторов на плоскости (в этом случае координаты $z_1$ и $z_2$ отсутствуют или равны нулю).

Алгоритм нахождения косинуса угла:

1. Вычислить скалярное произведение векторов, перемножив и сложив их соответствующие координаты.
2. Вычислить длину первого вектора.
3. Вычислить длину второго вектора.
4. Разделить скалярное произведение (результат шага 1) на произведение длин векторов (результаты шагов 2 и 3).

Ответ: Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ находится по формуле $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.