Номер 8, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 38.

Условие.

8. Что называют скалярным произведением двух векторов?

Решение 1.

Решение 3.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число (скаляр), которое можно определить несколькими эквивалентными способами.

• Геометрическое определение

  Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.

  Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\alpha}$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\alpha$ — угол между этими векторами.

  Геометрический смысл: скалярное произведение вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ равно произведению длины вектора $\vec{a}$ на проекцию вектора $\vec{b}$ на ось, определяемую вектором $\vec{a}$ (и наоборот). То есть, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot \text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = |\vec{b}| \cdot \text{пр}_{\vec{b}}\vec{a}$.

• Алгебраическое определение (в координатах)

  Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это сумма произведений их соответствующих координат в ортонормированной системе координат.

  Если векторы заданы на плоскости: $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y\}$, то их скалярное произведение вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.

  Если векторы заданы в пространстве: $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$, то формула имеет вид: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Свойства и следствия:

• Результатом скалярного произведения всегда является число (скаляр), а не вектор.
• Если векторы перпендикулярны (ортогональны), то угол между ними равен $90^\circ$, и $\cos(90^\circ) = 0$. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Это является основным признаком перпендикулярности векторов.
• Скалярное произведение вектора на самого себя называется скалярным квадратом и равно квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Ответ: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В координатной форме оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов.