Номер 10, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 10, страница 38.

Условие.

10. Чему равен скалярный квадрат вектора?

Решение 1.

Решение 3.

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя. Обозначается это как $\vec{a}^2$ или $(\vec{a}, \vec{a})$.

Для нахождения значения скалярного квадрата воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

В случае скалярного квадрата мы умножаем вектор $\vec{a}$ сам на себя. Это означает, что второй вектор $\vec{b}$ равен вектору $\vec{a}$. Угол между вектором и им самим равен нулю ($\alpha = 0^\circ$). Как известно, косинус нуля равен единице ($\cos(0^\circ) = 1$).

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 1 = |\vec{a}|^2$

Это свойство сохраняется и при работе с векторами в координатной форме. Например, для вектора $\vec{a} = (x; y; z)$ в трехмерном пространстве:
Скалярный квадрат: $\vec{a}^2 = x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z = x^2 + y^2 + z^2$
Длина вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Квадрат длины вектора: $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^2 = x^2 + y^2 + z^2$
Таким образом, и в координатной форме мы видим, что $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.

Следовательно, скалярный квадрат вектора — это всегда неотрицательное число, равное квадрату его длины (модуля).

Ответ: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля).