Номер 11, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 11, страница 38.

Условие.

11. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.

Решение 1.

Решение 3.

Условие перпендикулярности (ортогональности) двух ненулевых векторов заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю.

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Они перпендикулярны, что обозначается как $\vec{a} \perp \vec{b}$, тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Это условие напрямую следует из определения скалярного произведения, которое вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Поскольку по условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, их длины $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$.

Если векторы перпендикулярны, то угол между ними $\alpha = 90^\circ$, а косинус этого угла $\cos(90^\circ) = 0$. Следовательно, их скалярное произведение обращается в нуль: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot 0 = 0$.

Обратно, если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$), то из формулы $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha) = 0$ следует, что $\cos(\alpha) = 0$ (так как длины векторов не равны нулю). Это означает, что угол $\alpha = 90^\circ$, то есть векторы перпендикулярны.

В координатной форме, для векторов $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, скалярное произведение равно сумме произведений их соответствующих координат: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$. Тогда условие перпендикулярности принимает вид:
$x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$

Ответ: Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.