Номер 6, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 6, страница 39.

Условие.

5.6. Угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равен $150^\circ$, $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = \sqrt{3}$. Найдите:

1) $(3\vec{m} - 4\vec{n}) \cdot \vec{m}$;

2) $(\vec{m} + \vec{n})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(3\vec{m} - 4\vec{n}) \cdot \vec{m}$;

Для нахождения значения данного выражения воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Сначала раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство:

$(3\vec{m} - 4\vec{n}) \cdot \vec{m} = 3\vec{m} \cdot \vec{m} - 4\vec{n} \cdot \vec{m}$

Далее используем определения:

1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

2. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Применяя эти определения, получаем:

$3|\vec{m}|^2 - 4|\vec{n}||\vec{m}|\cos(150^\circ)$

Подставим известные из условия значения: $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = \sqrt{3}$. Угол между векторами равен $150^\circ$.

Найдем значение косинуса угла: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь выполним вычисления:

$3 \cdot (2)^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot 4 + \frac{4 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{2} = 12 + \frac{8 \cdot 3}{2} = 12 + 12 = 24$.

Ответ: $24$.

2) $(\vec{m} + \vec{n})^2$.

Квадрат вектора (или суммы векторов) равен его скалярному квадрату, то есть скалярному произведению этого вектора на самого себя. Раскроем квадрат суммы по аналогии с алгебраической формулой:

$(\vec{m} + \vec{n})^2 = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + \vec{n}) = \vec{m} \cdot \vec{m} + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + \vec{n} \cdot \vec{n}$

Используя те же определения скалярного произведения, что и в первом пункте, преобразуем выражение:

$|\vec{m}|^2 + 2|\vec{m}||\vec{n}|\cos(\angle(\vec{m}, \vec{n})) + |\vec{n}|^2$

Подставим известные значения: $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = \sqrt{3}$, и $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Произведем вычисления:

$(2)^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (\sqrt{3})^2 = 4 - \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} + 3 = 4 - \frac{4 \cdot 3}{2} + 3 = 7 - 6 = 1$.

Ответ: $1$.