Номер 13, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 13, страница 40.

Условие.

5.13. Среди векторов $\vec{a}(1; 1; 2)$, $\vec{b}(1; 2; 1)$ и $\vec{c}(-5; 3; 1)$ укажите пару перпендикулярных векторов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора являются перпендикулярными (ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Даны векторы: $\vec{a}(1; 1; 2)$, $\vec{b}(1; 2; 1)$ и $\vec{c}(-5; 3; 1)$.

Вычислим скалярное произведение для каждой возможной пары векторов, чтобы найти перпендикулярную пару.

1. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 + 2 = 5$

Так как $5 \neq 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не перпендикулярны.

2. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -5 + 3 + 2 = 0$

Так как скалярное произведение равно 0, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ являются перпендикулярными.

3. Скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = -5 + 6 + 1 = 2$

Так как $2 \neq 0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не перпендикулярны.

Следовательно, единственная пара перпендикулярных векторов — это $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

Ответ: перпендикулярной является пара векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$.