Номер 17, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 17, страница 40.

Условие.

5.17. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$, точки $E$ и $F$ – соответственно середины рёбер $AB$ и $AD$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DC_1}$;

2) $\vec{AB_1}$ и $\vec{C_1D}$;

3) $\vec{BA}$ и $\vec{C_1C}$;

4) $\vec{EF}$ и $\vec{DC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке $A(0, 0, 0)$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. В этой системе координат вершины куба со стороной $a$ имеют следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $C_1(a, a, a)$
• $D_1(0, a, a)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

1) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DC_1}$

Найдем координаты векторов, вычитая из координат конца вектора координаты его начала:
$\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$.
$\vec{DC_1} = (a-0, a-a, a-0) = (a, 0, a)$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{DC_1} = 0 \cdot a + 0 \cdot 0 + a \cdot a = a^2$.
Ответ: $a^2$.

2) $\vec{AB_1}$ и $\vec{C_1D}$

Найдем координаты векторов:
$\vec{AB_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$.
$\vec{C_1D} = (0-a, a-a, 0-a) = (-a, 0, -a)$.
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{AB_1} \cdot \vec{C_1D} = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) = -a^2 - a^2 = -2a^2$.
Ответ: $-2a^2$.

3) $\vec{BA}$ и $\vec{C_1C}$

Найдем координаты векторов:
$\vec{BA} = (0-a, 0-0, 0-0) = (-a, 0, 0)$.
$\vec{C_1C} = (a-a, a-a, 0-a) = (0, 0, -a)$.
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{BA} \cdot \vec{C_1C} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-a) = 0$.
Результат равен нулю, так как вектор $\vec{BA}$ параллелен оси $Ox$, а вектор $\vec{C_1C}$ параллелен оси $Oz$, а эти оси ортогональны.
Ответ: $0$.

4) $\vec{EF}$ и $\vec{DC}$

Точка $E$ — середина ребра $AB$, поэтому ее координаты $E(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, 0)$.
Точка $F$ — середина ребра $AD$, поэтому ее координаты $F(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, \frac{a}{2}, 0)$.
Найдем координаты искомых векторов:
$\vec{EF} = (0-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}-0, 0-0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.
$\vec{DC} = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$.
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{EF} \cdot \vec{DC} = (-\frac{a}{2}) \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{2}$.
Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.