Номер 19, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 19, страница 40.

Условие.

5.19. Каждое ребро правильной пирамиды $MABCD$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AC}$ вычисляется по формуле: $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\angle MAC)$, где $|\overrightarrow{AM}|$ и $|\overrightarrow{AC}|$ — длины (модули) векторов, а $\angle MAC$ — угол между ними.

По условию, MABCD — правильная пирамида, у которой все ребра равны $a$. Это означает, что в основании лежит квадрат ABCD со стороной $a$, а боковые ребра MA, MB, MC, MD также равны $a$.

Найдем величины, необходимые для вычисления скалярного произведения:

1. Длина вектора $\overrightarrow{AM}$ равна длине ребра $AM$. Следовательно, $|\overrightarrow{AM}| = a$.

2. Длина вектора $\overrightarrow{AC}$ равна длине диагонали квадрата ABCD. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Таким образом, $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Угол $\angle MAC$ найдем, рассмотрев треугольник MAC. Его стороны: $MA = a$, $MC = a$ (боковые ребра) и $AC = a\sqrt{2}$ (диагональ основания). Применим к этому треугольнику теорему косинусов для нахождения $\cos(\angle MAC)$:

$MC^2 = MA^2 + AC^2 - 2 \cdot MA \cdot AC \cdot \cos(\angle MAC)$

Подставим известные длины сторон:

$a^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot a \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \cos(\angle MAC)$

$a^2 = a^2 + 2a^2 - 2a^2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle MAC)$

$a^2 = 3a^2 - 2a^2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle MAC)$

$2a^2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle MAC) = 3a^2 - a^2 = 2a^2$

Отсюда, $\cos(\angle MAC) = \frac{2a^2}{2a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь можем вычислить скалярное произведение:

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\angle MAC) = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \cdot \frac{2}{2} = a^2$.

Ответ: $a^2$.