Номер 24, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 24, страница 40.

Условие.

5.24. Найдите косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если A (3; -2; 1), B (-1; 2; 1), C (4; -1; 5), D (1; 3; 0).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти, используя формулу скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — это скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это их длины (модули).

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

Координаты вектора, заданного двумя точками, равны разности соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{XY}$ с началом в точке $X(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $Y(x_2; y_2; z_2)$, его координаты будут $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Используя данные координаты точек $A(3; -2; 1)$, $B(-1; 2; 1)$, $C(4; -1; 5)$ и $D(1; 3; 0)$, вычислим координаты векторов:

$\vec{AB} = (-1 - 3; 2 - (-2); 1 - 1) = (-4; 4; 0)$.

$\vec{CD} = (1 - 4; 3 - (-1); 0 - 5) = (-3; 4; -5)$.

2. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b}(b_x; b_y; b_z)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-4) \cdot (-3) + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) = 12 + 16 + 0 = 28$.

3. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

Длина вектора $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

$|\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

4. Найдем косинус угла между векторами

Подставим все найденные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{28}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{28}{20 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{28}{20 \cdot 2} = \frac{28}{40}$.

Сократим полученную дробь:

$\frac{28}{40} = \frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$.